連接孔結構(Connected Holes About Structure)

Written by helen, on 19-11-2015 06:11

Views : 10767

Favoured : 595

Published in : Blogs, 部落格

沒有可用的翻譯。

Connected Holes About Structures

連接孔結構 

 

 

 

 

作者:Dave H.A. Blank 及Rinus Roelofs

譯者:余筱嵐

譯自:Connected Holes About Structures  

文章與原印刷品不同的地方,乃由譯者基於陳述方式的一致性所調整及潤飾。

 

序文:

 

物質界面

序文原文作者:Dave H.A. Blank, Chief Scientific Ambassador University of alternative cialis soft pills Twente  

https://www.utwente.nl/mesaplus/daveblank/


表面逐漸浮現,這表面不是我們眼睛所見的桌子表面,而是在電腦屏幕上所見的原子重新排列。


他們形成一個重複的結構,並顯示原子間的交互作用。我留心於掃描穿隧式顯微鏡(STM)所拍攝的原子級解析度照片,我看到的結構決定了物質的性質,原子的選擇與排列方式則指示該物質是否為良導體、具有磁性或光學活性。如今,我們從表面獲得這麼多的資訊,讓我們能夠使用這些資訊,以任何我們想要的方式排列,製造出多層形式的人造表面。這種方式讓我們可以創造出不存在於自然界的物質,甚至是更強韌的物質:這些精確建構的交織結構主導了界面的屬性。比如,界面具有傳導性,而總合物質不具傳導性;或者,界面具有磁性,而總合物質不具磁性。當中,巨大的可能性與研究者的創造力,決定了我們設計的是那一種物質。


進一步探究,當我們檢視晶體結構時,我們發現原子間空無一物。「無」是一個相對的用語,因為這空無一物的空間充滿了電子。當我們移開其中的原子核,換句話說創造一些孔洞,我們將打斷這存在於帶負電電子與帶正電原子核之間的平衡性。我們連接這些孔洞,將對設計出來的物質產生更深遠的影響。請參考藝術家Rinus Roelofs的網站連結(http://www.rinusroelofs.nl,他的創作來自於創造簡潔新形態的啟發。


但是,其中有一點不同。研究物質界面科學家的夢想是:擴展他的研究至三維空間中。然而,藝術家早已意識到這點,並且已經表明這額外的維度,確實在這議題上帶來了壯觀的新見解。

 

 


摘要

我們可能將兩個或兩個以上有孔洞的面交織在一起,有許多解決方案是廣為人知的。並且,我們也可以將兩個或兩個以上的三維有孔洞物件交織在一起,其中一個例子便是艾雪(M.C. Escher)的作品:交織兩個正四面體的【兩個世界】(Double Planetoid)[1]。本文,我想呈現我們並不需要兩個或兩個以上分離的面,事實上,不論是在二維或三維空間中,只使用一個單一的面,我們就可以創造出看起來好像是多層的有趣交織結構。

1. 導論
1.1 交織的面:圖一呈現的是兩個面交織的結構,兩個面上的孔洞開在對應的位置,讓兩個面可以交織在一起。圖一、二及三所示的三個交織多層結構,其上孔洞的中點皆落在正方形的網格上。

 圖一、交織的面a                          圖二、交織的面b                                 圖三、交織的面c

這些孔洞的形狀分別為:圓形、橢圓形及六邊形。除了孔洞的形狀不同外,這三個例子的編織方式也不相同、圖三的交織結構是由艾雪所設計的。[2]
         


1.2 六邊形網格:我們幾乎可以使用任何一種模式,當作多層交織結構的基底網格。圖四及圖五是採用六邊形網格的例子,交織的層數也可以不同,圖五呈現的是一個三層的交織結構。


                                                                                            
圖四、雙層交織的面
 

圖五、三層交織的面                         圖六、交織的莫比烏斯帶                  圖七、交織的球面

1.3 三維結構:除了二維面交織的多層結構,還有三維物件交織的結構。以艾雪的【兩個世界】(Double Planetoid)[1]為例, 艾雪是這麼描述這個作品的:「在空間中滑動、穿插在一起的兩個正四面體,每個正四面是一個小世界(原文:Planetoid為小行星),兩個物件形成一個連接的結構,彼此並不知道對方的存在。」我們也可以如此描述圖六的兩個莫比烏斯帶,或是圖七的兩個球面。



2.  連接孔
2.1 連接環:仔細察看圖一,我們發現可以使用另一種方式來描述這個結構:它可被視為如圖八a的一組連接環結構。而圖八b,我們則可以辨識出圖二結構上的連接孔。所以,兩種解讀的方式似乎存在著一種緊密的關係:多層交織的解構,可以轉換成連接孔結構。

 

圖八a、連接圓環                                                            圖八b、連接橢圓環

 

這個轉換的步驟,是否為雙向的?意思是:當我們由一個連接孔結構開始,是否可以轉換為多層交織的結構?如果,我們由圖八c這類較複雜的連接環(比如說一個「結」)開始,又會產生什麼成果? 

 

圖八c、連接結

 

2.2 連接結:由一個如圖九a的三葉結開始,首先,我們將這個結與另外三個三葉結連接,當我們繼續這麼做,就會創造出一個連接三葉結的模式。問題是:我們是否可以轉換這連接結的模式為多層交織的模式?我們可以肥皂膜來檢視這個問題。圖九d中可見一個像肥皂膜的面連接部分三葉結的線段,我們繼續依此方式擴充這個面,如圖九e至i。在圖九f中,我們發現這第三個步驟產生的面,並沒有與最初的面直接相接在一起。只有當我們再走一圈(圖九g至i),這時最初的生成的面才會與最後生成的面直接相接。現在,它看起來就像是雙層的結構,但是,事實上仍然只是單一的面。換句話說,我們得到的是單面的交織結構。

圖九、(由左至右、由上至下為九a至九i)在連接三葉結結構上的肥皂膜


圖十、六邊形的交織結構

 

我們以動態檔再看一次這個由連接三葉結結構轉換而成的單面交織結構:

 

2.3 五葉結(原文:Fivefold Knot)我們將以圖三艾雪所設計的兩個交織網格為起點討論下一個例子。首先,我們以五葉結替代圖中藍色部分的五邊形,也就是圖三上的孔洞。並且讓這些五葉結連接在一起,如圖十一b所示。同2.2使用的檢視方法,在其上添加肥皂膜(圖十一c至h ),我們再次得到一個看似由兩個面所構成的單面多層交織結構。

 

圖十一、(由左至右、由上至下為十一a至九i)在連接五葉結結構上的肥皂膜

同樣也來瞧瞧動態檔: 

 

 

圖十二、以五葉結模式為基礎的多層交織結構

 

3. 交織的面

3.1 正多邊形平面鑲嵌與半正多邊形平面鑲嵌:構成圖十結構的基礎模式是一個正多邊形平面鑲嵌(正六邊形平面鑲嵌),圖十二結構的基礎模式則是一個半正多邊形平面鑲嵌,這些鑲嵌的瓦片都是由正多邊形所組成。不論是正多邊形平面鑲嵌或半正多邊形平面鑲嵌,在同一個模式中,每個瓦片的頂點周圍都有相同的正多邊形配置形態。並且,圍繞每個頂點的瓦片數量是相等的。在圖十結構的模式中,數量是三,是一個奇數,正因為是奇數個瓦片,我們會在多層交織的結構上,得到一個繩結圖案的孔洞,請參考圖八c。當這個數量是偶數時,我們則得到兩個或兩個以上環狀圖案孔洞的組合,請參考圖八b。圖十二結構的基礎模式是一個半正多邊形平面鑲嵌,或稱為阿基米德平面鑲嵌,記為4, 3, 4, 3, 3 (或3^2.4.3.4)。圍繞這個鑲嵌模式上的每個頂點周圍有五個多邊形(繞著一個頂點轉一圈,我們依序看到一個正方形、一個正三角形、一個正方形及兩個正三角形),五也是奇數,所以也產生繩結圖案的孔洞,並且也是一個單面多層交織結構。

3.2 對偶網格:由阿基米德平面鑲嵌開始,我們可以形成另一組平面鑲嵌的圖案,稱為「對偶平面鑲嵌」(dual tilings)。我們連接相鄰瓦片的中點,可以得到一組新的模式:原平面鑲嵌圖案的對偶模式。圖十六呈現阿基米德4, 3, 4, 3, 3平面鑲嵌圖案,並且循上述討論可以預見,每個頂點周圍圍繞的多邊形數量為奇數,將產生單面多層交織結構。

 

圖十三、6, 6, 6平面鑲嵌                   圖十四、8, 8, 4平面鑲嵌                   圖十五、6, 3, 3, 3, 3平面鑲嵌

 

  

圖十六a、4, 3, 4, 3, ,3 平面鑲嵌     圖十六b、創造對偶模式        圖十六c、4, 3, 4, 3, 3對偶平面鑲嵌

 

 

 

圖十七、基礎模式:4, 3, 4, 3, 3      圖十八、基礎模式:                    圖十九、基礎模式:
                                                                       4, 3, 4, 3, 3對偶圖形                    6, 3, 3, 3, 3對偶圖形

                      

                圖二十、基礎模式:6, 3, 6, 3對偶圖形     圖二十一、基礎模式:6, 4, 3, 4對偶圖形

 

 

4. 由二維結構而來的三維物件

4.1柏拉圖立體:接下來,我們將應用繩結圖案孔洞的概念於三維物件上。五個柏拉圖立體中,在正4、正6及正12面體上,每三個面相交於一個頂點,我們可以三葉結替換這些頂點,如圖二十二。

在這些正多面體的每個面上,我們可以得到一組連接結的結構,正如同第二章所討論的情狀。加上肥皂膜後,我們則可以得到如圖二十三、二十四及二十五的(單面)雙層交織結構。

圖二十二、以三葉結替代多面體的頂點 


圖二十三、基礎模式:                     圖二十四、基礎模式:                      圖二十五、基礎模式:                  
                  4面體                                                正6面體                                             正12面體
 
 
4.2 阿基米德立體:同樣的,阿基米德立體也可以當作三維單面多層交織結構的基礎模式。比如,圖二十六即以扭稜立方體為基礎模式,這個物件是由連續的單面所構成。


圖二十六、基礎模式:扭稜立方體
 
 
艾雪的星星
5.1 艾雪的【重力】(Gravity):艾雪的作品【重力】使用一個星狀的形體,並且在十二個面上各放置一隻動物[1]。每一隻動物皆有一個在其下供站立的地面與在其上的屋頂部分,這地面與屋頂可視為雙層的結構。但是,整體物件並不像另一個作品:【兩個世界】,由兩個物件所組成[1]。如圖二十七所示,這個物件上星狀的面連接在一起,因此,我們可以由其上一個面走到另一個面上。
 
                     圖二十七、艾雪的物件                                                 圖二十八、放大的孔洞


5.2 三維空間中的多層交織結構:艾雪這個星星型態的物件,僅使用了一個連續的面,但是,我們可以清楚地看出雙層的結構。事實上,這與第三章所討論的單面多層交織結構是一樣的情形。為了看得更清楚,我們放大艾雪這個作品上的孔洞(如圖二十八),再更近一點查看其中一個孔洞,我們發現了如同段落4.1所討論的三葉結。如果把這個作品的尖頂打圓,即可以得到如圖二十五所示的物件。
 
                           圖二十九、三葉結

5.3 星狀化:星星的形狀可以由一個柏拉圖立體或阿基米德立體轉變而來,以圖三十為例,由一個正20面體開始(圖三十a),前三個步驟(圖三十b至d),我們放大每個正三角形的面,直到它們再次相交。圖三十d是這個操作的成果,它是一個星狀化多面體。請注意這個物件是雙層的:在每個三角錐下,還有一個原正20面體三角形的面。我們將三角錐開孔(圖三十e及f),則清楚瞧見雙層的結構。最後,我們放大這些開孔,便呈現出這些開孔的形狀(在這個例子中為五葉結)。同時,我們得到了一個單面雙層交織結構。
 
                        圖三十、  (由左至右、由上至下為三十a至三十i)正20面體的星狀化

以動態檔呈現:

 

 

 

圖三十一、以正20面體為基礎模式的雙層結構

 
6. 三維空間中交織的面
 
 
圖三十二、基礎模式:                     圖三十三、基礎模式:                      圖三十四、基礎模式:
                  菱形12面體                                      扭稜立方體之對偶多面體                   菱形30面體

圖三十五、基礎模式:                     圖三十六、基礎模式:                     圖三十七、基礎模式:
                  菱形12面體                                      扭稜立方體之對偶多面體                  菱形30面體


6.1 雙層:星狀化的操作不僅可以應用於柏拉圖立體及阿基米德立體,同時也可以應用於其對偶多面體。在有些個案中,我們會得到兩個物件的複合體。比如說:正8面體的星狀化,為兩個複合的正4面體,如同艾雪的作品【兩個世界】(Double Planetoid)[1]所示。而在另一些個案中,星狀化的操作將產生一個新的完整物件,這也和圍繞每個頂點周圍的面數有關。當此數量為偶數時,就像正8面體(四個正三角形圍繞著一個頂點)的操作,結果為兩個物件的複合體。當此數量為奇數時,結果就會是一個單面雙層結構。以下星狀化例子的基礎多面體包括:菱形12面體(圖三十二及三十五),扭稜立方體之對偶多面體(圖三十三及圖三十六)及菱形30面體(圖三十四及圖三十七)。我們可以做出三個各由60個相同的面所構成的星狀化多面體,圖四十及圖四十一的基礎模式皆是扭稜12面體。
 

圖三十八、60面星狀化多面體a        圖三十九、60面星狀化多面體b        圖四十、60面星狀化多面體c

 

 

圖四十一、基礎模式:扭稜12面體

 

7. 更多層

                  
圖四十二、單面三層                                                     圖四十三、三面三層

7.1 三層的結構:
我們可以使用連接結創造出雙層的結構,結與星狀多邊形有關,五葉結源自於五角星形,五角星形是一個二階的五邊形。在更多邊的形狀中,比如八邊形,則會產生更高階的情狀。圖四十二所示之結構乃採用星狀八邊形,這是個三階的情狀,結果形成一個單面三層交織結構。有一個好方法可以創造三維的三層結構:圖四十三的交織多層結構,是個擁有三層分離的結構,以此結構為材料做出正20面體,結果形成如圖四十四所示的單面三層交織結構。
圖四十四、單面三層

 

參考資料: 

[1]M.C. Escher, Grafiek en Tekeningen, Uitgeverij Tijl, Zwolle, 1960

[2]Doris Schattschneider, M.C. Escher: Visions of Symmetry, Abrams, 2004


Last update : 23-12-2015 11:29

User comments Quote this article in website Favoured Print Send to friend Related articles Read more...