Find Us on FB

超立方體 Hypercube

Written by helen, on 15-05-2014 23:17

Views : 16485

Favoured : 946

Published in : Blogs, 部落格

沒有可用的翻譯。

挑戰21.1 超立方體(Hypercube)

請做一個含六個正方形的面及六個平行四邊形的面的12面體。 

 

原文引自:Zome Geometry

翻譯及彙整:余筱嵐

 

超立方體是立方體的n維類似物,他們是特殊的多胞體(polytopes)。多胞體在二維是多邊形、

三維是多面體,以此類堆至其它維度。換句話說,一個多邊形即為一個二維的多胞體,

一個多面體即為一個三維的多胞體。

 

1.  請將以下四樣物品排成一列:一顆連接球、一根兩端各接一顆連接球的b0、使用b0為邊長

的正方形及b0為邊長的正立方體。這些是零、一、二及三維的超立方體。接下來的流程可以

使用一個n-1維的超立方體,製作出一個n維的超立方體。比如說:平行放置兩個二維的正方形,

以垂直方向連接各個對應頂點,則形成三維的正立方體。(原文是:Make two parallel copies

of the object that isone dimension lower, and connect all pairs of corresponding vertices with

struts, using a new direction- perpendicular to all previous ones.)


Q1: 找出n維超立方體頂點個數的模式。

Q2: 延伸這個模式,推論四維的超立方體有幾個頂點?

Q3: 找出n維超立方體邊的個數的模式,以概化公式而言,在一個超立方體的

每一個頂點會接觸n個邊,比如說:三維正立方體,每個頂點接觸3個邊。請以

此方式推算四維的超立方體的邊有幾個?

 

 

存在於三維空間中的我們,沒有辦法做出一個四維的超立方體,但是,我們可以嘗試作出四維超立方體

在三維空間的投影模型。想一想我們是如何將三維的正立方體投影在二維平面上的?我們有以下三種

方式在平面上畫三維的正立方體:

 

 

 

 

第一個繪圖的方式是把正立方體一個面的中心放在該圖的中央,並且保留一個四重對稱軸的對稱性

(four- fold axis of symmetry)。如此,有些正方形會變形成梯形,所以角度及長度都有所扭曲,但是,

沒有任兩邊相交。第二個繪圖的方式是把正立方體的一個頂點放在靠近該圖的中央,並且保留一個

三重對稱軸的對稱性。如此,正方形看起來像是菱形,雖然可以保留一樣的邊長,但是,角度卻

扭曲了。為了凸顯兩相對頂點的不同,我們沒有使其完全重疊,因此,第二個繪圖有一點違反了

完整的三重對稱性。第三個繪圖則呈現出兩個平行的全等正方形,其中有些角度是不變的。我們將

分別以這三種繪圖的方式,類比推演出四維的超立方體在三維空間中的模型。


 

 

2.  請分別做一個b0為邊長的正立方體及ㄉb2為邊長的正立方體。把b0為邊長的正立方體放在b2為邊長

的正立方體的中央,以8根y1連接兩正立方體。


Q4:請問這個超立方體的頂點與邊的個數如何對應於Q2及Q3的模式?比較並

描述這個程序,由n-1維的超立方體製作n維的超立方體。

Q5:如何由圖一中第一個繪圖方式的三維正立方體,推論出步驟2得到的

超立方體?

 

 

如同Q2及Q3推論的模式,此超立方體有16個頂點及32個邊。並沒有所謂的垂直

方向,因此,我們描述為『向內』及『向外』兩種方向。這就像第一個繪圖

一樣,把置於中心的正方形換為正立方體,角度及長度同樣有所扭曲。



圖二、圖一第一種繪圖方式的推演模型

 

3.  請製作一個以y2為邊長的菱形12面體。在這個模型中央放置一顆連接球,使用4根y2連接四個三軸對稱

的頂點,讓這四根 y2彼此間的夾角越大越好(想像這四個頂點可構成一個正四面體),仔細觀察每根y2

是如何成為此組頂點的三重對稱的對稱軸,又是如何分割此菱形12面體成為四個鈍角菱形6面體

(obtuse rhombohedra)的。還剩餘四個同樣是三重對稱(連接三個邊)的頂點,在菱形12面體中心

以第二個連接球連接此四個頂點,此時在中心的兩個連接球會稍微相互推擠,然而,桿件有足夠的彈性

讓這個結構雖然有些變形,卻仍然得以呈現。


Q6:請問這第二個版本的超立方體的頂點與邊的個數如何對應於Q2及Q3的

模式?比較並描述這個程序,由n-1維的超立方體製作n維的超立方體。

Q7:如何由圖一中第二個繪圖方式的三維正立方體,推論出步驟3得到的

超立方體?

 

 如同預期這個超立方體有16個頂點及32個邊,如果我們拿著一個三重對稱性
的頂點,垂直看過去,會看到上下兩個菱形六面體,對應的頂點以y2垂直方向
連接著。這就像圖一的第二個繪圖方式,正方形變成菱形,而對應的兩個頂點
雖然稍微分離,卻同時接近模型中央位置。
 
 圖三、圖一第二種繪圖方式的推演模型 

 

 


4.  請將兩個全等的正立方體,在其對角線方向以“環環相扣”的方式重疊連接。 

Q8:請問這第三個超立方體如何由圖一的第三種繪圖方式類比推演而來?
Q9:請問Q8的答案和挑戰21.1的關係?
 
這兩個三維的正立方體一樣大,但是,連接這兩個正立方體的四條平行
的直線,並沒有垂直於任一個正立方體。這第三個超立方體的外圍
正是由六個正方形的面及六個平行四邊形的面所構成的12面體。

 

 

圖三、圖一第三種繪圖方式的推演模型 

 

Q10:回顧一下超立方體生成的順序,我們發現:兩點生成一條一維的線段、

四條線段生成一個二維的正方形、六個正方形生成一個三維的正立方體,

那麼接下來呢?


我們可以推論,八個正立方體構成一個四維的超立方體。以上三種方式構成

的超立方體皆含八個三維的正立方體,只是他們大多扭曲變形了。


 

當我們建構一個三維正立方體時,可視為每個頂點連接三個正方形。以類比推 演的方式,當我們建構

一個四維的超立方體時,我們可以想成每一個邊連接三個正立方體。我們稱這些組成四維多胞體的三維

多面體為『胞』(cells)。在多面體上,兩相鄰的面構成一個邊;在四維多胞體上,兩相鄰的胞構成

一個面。四維超立方體的每相連三個立方體的二面角和小於360度,在四維空間裡他們是圍繞在同一個面上,

然而,在我們三維的模型上,這些二面角扭曲方得以在三維空間呈現,而每個邊圍繞著三個正立方體的胞。


最後,我們要來做在三維空間中四維超立方體的展開圖模型。首先,我們都知道正立方體的平面展開圖為

六個正方形,我們也不難明白,其中有些正方形的邊被剪開,分別呈現在兩個正方形當中。同樣的,

有些正立方體的頂點,也變成了展開圖中二到個點。當我們把展開圖的邊折好並且黏合,就可以得到

所謂的正立方體。


5.  請以藍色桿件做一個正立方體,在其上下、左右其前後分別圍繞一個同尺寸正立方體(共六個,

每個分別連接於第一個正立方體的一個面。),以任一正方形的面立起此模型,並在最上方的正方形的面

再加上一個正立方體。


Q11:請問如何以三維正立方體平面展開圖類推出步驟5. 的這個模型?


這個模型呈現出組成四維超立方體的八個不經扭曲之立方體,但是每個

都以面分隔,因為這是『展開圖』,因此,並沒有呈現出只有對應的

正立方體才互相平行。


Last update : 16-05-2014 00:10

User comments Quote this article in website Favoured Print Send to friend Related articles Read more...