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應用「立面化」概念於平面鑲嵌的模式

Written by helen, on 07-09-2015 08:51

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作者: Rinus Roelofs

譯者:     余筱嵐 Helen Yu


譯自 Proceedings of Bridges 2015: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture

P.P. 9~ 16

原文請參考: The Concept of Elevation Applied to Flat Tiling Patterns ,歡迎您寶貴的建議。


 

摘要


盧卡・帕西奧利(Luca Pacioli)與李奧納多・達文西(Leonardo Da Vinci)在《神聖比例》(La Divina Proportione)一書中,描述了一種可以應用於多面體的幾何操作,稱為「立面化」(elevation)。在這篇文章中,我將展示我們如何使用簡單的元件,製作「立面化」的模型,這些材料也適合在工作坊中使用。雖然,盧卡・帕西奧利與李奧納多・達文西僅應用「立面化」於多面體,但是,這個概念也可以應用於二維的平面鑲嵌,並且產生有趣的單層及雙層編織模式。


1. 導言 

1.1 「立面化」(Elevation):在《神聖比例》(La Divina Proportione)[1]一書中,盧卡・帕西奧利(Luca Pacioli)與李奧納多・達文西(Leonardo Da Vinci)介紹了一種應用於多面體上的概念,稱為「立面化」。我在2014年Bridges 的文章(「立面化」及「星狀化」)[2]主題亦正是他們所介紹的立面化概念,旨在辨明「立面化」與「星狀化」的差異。

 

圖一、立面化的正立方體

雖然帕西奧利並沒有真的給「立面化」一個定義,但是,他描述得非常清楚:他這麼描述立面化的正立方體(圖一):「⋯⋯它被24個三角形的面所包覆,這個多面體是由六個正四角錐所構成,一同建構出由肉眼所見的外部構造。內部仍然有個正立方體,正四角錐就是放置於正立方體的每個面上。然而,我們只能想像正立方體的存在,因為它被正四角錐們完全包覆。六個正方形的面,正是這六個正四角錐的底面。」[3]這個幾何操作方式還可以這樣描述:多面體的立面化是將多面體上每個面的中點向外提升的過程,直到提升的中點與原來多面體面上相鄰兩頂點構成正三角形為止。推廣這個描述,可以不必要求這些三角形必須為正三角形。


 

1.2 建構模型(Building Models):李奧納多・達文西繪製立面化多面體的方式,意味著存在懸吊的實體模型。事實上,建構這些構造的實體模型,是深具啓發性的。所以,我開始尋求一種簡單的方式,來建構呈現盧卡・帕西奧利與李奧納多・達文西設計的紙模型。立面化多面體並不僅是由角錐所構成(圖二),它的內部還有其他形體,它事實上是個雙層的構造。我必須找個方式呈現這雙層的結構,讓這雙層的結構顯而易見。我在艾雪(M.C. Escher)的創作【重力】(Gravity)上找到解決方案,那是一幅星狀化12面體(圖三)的作品。在角錐上開口,我成功的發展出簡單且基本的建構元件(圖四),使用這些元件可以建構出紙模型,並且還可以讓我們清楚瞧見內層的構造。

 
 
圖二、正三角形、正方形及正五邊形的立面化 圖三、艾雪【重力】
 
 
圖四、立面化多面體模型建構元件的發展


1.3 立面化柏拉圖立體(The Elevated Platonic Solids):建構立面化柏拉圖立體(圖五),我們只需要分別以膠水黏合三種不同的元件。我對這個解決方案並不滿意,特別是在工作坊時,創作非常不方便。因此,我決定發展出一種不需要膠水黏合的元件,成果如圖六所示。

 
 
圖五、立面化柏拉圖立體  圖六、構造元件


這由正三角形發展而來的新元件,可以建構達文西的立面化4面體、8面體及20面體(圖七)。請注意雖然我冒昧地並沒有按照帕西奧利所描述的高度提升這些多面體,但是我們可以很容易地辨認出原來的構造。(圖八)

 

 

圖七、達文西的立面化4面體、8面體及20面體
 
 
 
 圖八、立面化4面體、8面體及20面體紙模型
 
1.4 元件形狀的變化(Variation of price cialis the Shape of the Element):依照我建構模型的方式,在立面化操作中,面中點的提升高度不再固定不變。因此,我決定進一步研究建構元件提升的高度與連接處的形狀,圖九a即為一個新的元件形狀。當我們建構一個立面化4面體時,我們需要四個元件,但是,我們可以選擇面中點提升的高度,使得立面化4面體外部的形狀構成一個正立方體。現在,我們同樣使用四個相同的元件,卻建構出圖九b的正立方體。
 
圖九a,b、新的元件及新的立面化4面體模型 
 
 
2. 平面鑲嵌模式(Flat Patterns) 

2.1 三角形鑲嵌模式(Triangular Tiling Pattern):因為帕西奧利與達文西在立面化的角錐上只使用正三角形,他們只能將面為正三角形、正方形及正五邊形的多面體立面化(圖十)。我們卻可以延伸立面化原來的概念,以正三角形和(或)正方形為拼磚,至平面鑲嵌的領域(圖十一)。

 
圖十、延伸至平面鑲嵌模式               圖十一、立面化三角形平面鑲嵌模式 
 
 
圖十二、立面化三角形平面鑲嵌模式紙模型                圖十三、展示結構的強度



我們可以使用與建構立面化多面體相同的紙元件,建構平面鑲嵌的模型(圖十二)。觀察一位工作坊參與者的照片,我們可以看出這個平面鑲嵌模型的結構十分穩定(圖十三)。在工作坊裡,我們也在相同的平面鑲嵌模式上使用不同的色彩型(color patterns)(圖十四),而展現的相同平面鑲嵌模式。

 

 

圖十四、採用色彩型

 

2.2 雙層編織(Double Weave):在《神聖比例》[1]書中,所介紹的立面化概念是應用於多面體上單面的幾何操作:角錐放置於多面體面的外側。討論平面鑲嵌模式時,我們可以同時應用這個幾何操作於兩個方向。當我們製作如圖十五所示的成雙元件為基本鑲嵌單元時,我們可以創造出雙面立面化的結構。如圖十六,我們可以瞧見雙面編織的立面化模式所呈現的正面與反面模型樣式。

 

 圖十五、成雙元件 圖十六、雙層編織立面化模式 

 

 

3. 阿基米德平面鑲嵌模式(Archimedean Tiling Patterns)

3.1 編織結構(Weaving Structures):將立面化的概念應用於平面鑲嵌,產生許多有趣的編織結構。將正方形立面化,就像達文西立面化正立方體,產生圖十八的模式。在平面上,我們有許多鑲嵌的模式可以探究。 

圖十七、更多正多邊形鑲嵌模式 圖十八、正方形模式 

 
我們接著來將查考阿基米德及其對偶圖形的平面鑲嵌模式(圖十九)的可能性。就像盧卡・帕西奧利與李奧納多・達文西的立面化探究,我將限定我自己於三、四、五邊形的平面鋪磚。 
 
圖十九、阿基米德平面鑲嵌模式(譯者註解:上排左一至左三為正多邊形平面鑲嵌,下排中為兩鏡射33336平面鑲嵌模式。故一般分類有三種正多邊形平面鑲嵌,以及八種阿基米德平面鑲嵌。此圖為按作者創作方式的列表,以下按此列表所定名稱討論。)


3.2 33434平面鑲嵌(Tiling 3343):有兩種阿基米德平面鑲嵌模式是由正三角形及正方形所構成,圖二十為立面化的33434平面鑲嵌模式,圖二十一則將此立面化模式轉換為編織的結構。 
 
圖二十、33434平面鑲嵌模式   圖二十一、33434平面鑲嵌模式立面化模型

 

3.3 對偶平面鑲嵌模式(Dual Tiling Pattern):至此我們討論了四種阿基米德平面鑲嵌模式(譯者註:圖十二、十四、圖十八及圖二十),在我限定的範圍內,鋪磚的邊數最多為五,然而,並沒有阿基米德平面鑲嵌模式採用五邊形的鋪磚。我們如何找到五邊形的鋪磚呢?我們可以透過阿基米德平面鑲嵌模式的對偶圖形,創造出更多基本的平面鑲嵌模式。圖二十二正是33434模式的對偶模式。

 
圖二十二、創造33434平面鑲嵌模式的對偶模式 
 
現在,我們可以使用這個擁有五邊形鋪磚的模式,建構立面化的模型(圖二十三)。

圖二十三、立面化模型

 
除了333333模式外(譯者註:此模式對偶模式仍為333333,即為自身),所有阿基米德平面鑲嵌模式的對偶模式,產生鋪磚邊數不超過五的新形態平面鑲嵌模式。圖二十四及二十五呈現488及3636阿基米德平面鑲嵌模式轉換的過程,我們也可以應用2.2介紹的雙面編織於此兩種新模式。 
 
圖二十四、創造阿基米德488平面鑲嵌模式的對偶模式,及雙層編織立面化結構 
 
 
圖二十五、創造阿基米德3636平面鑲嵌模式的對偶模式,及雙層編織立面化結構
 
 
3.3 色彩型(Color Patterns):在元件上加上色彩的使用,可以在結構上展現出子模式(sub patterns)。阿基米德3464平面鑲嵌模式(圖二十六)正是一個好例子,我們至少需要三種不同的顏色,好讓相鄰鋪磚的顏色相異。 
 
圖二十六、創造阿基米德3464平面鑲嵌模式的對偶模式 
 
 
 
圖二十七、四邊形平面鑲嵌模式(一)及第一種色彩型

 

但是,我們也可以將這個平面鑲嵌模式視為另外兩種模式的組合:三角形平面鑲嵌模式(阿基米德333333平面鑲嵌模式)及六邊形平面鑲嵌模式(阿基米德666平面鑲嵌模式)。加上色彩的使用,我們便可以分別聚焦在這兩種模式上(圖二十八及圖二十九)。

 
圖二十八 、第二種色彩型 
 
 
 
圖二十九、第三種色彩型


4. 其他平面鑲嵌模式(Other Flat Patterns)

4.1 其他四邊形平面鑲嵌模式(Other Quadrangular Tiling Patterns):我們已經探究了應用立面化概念於平面鑲嵌模式的基本技巧。現在,我們可以借由尋求其他平面鑲嵌的模式,創造出更多有趣的紙結構,第一類例子中的兩例皆立基於四邊形平面鑲嵌模式。

 
圖三十一、建構元件及立面化模型正、反面

這個模式可以用於建構單層或雙層編織結構,我們也可以加入不同配色方案,玩味出不同樣貌(圖三十二及圖三十三)。

 
 
圖三十二、立面化雙層編織 圖三十三、第二種配色方案及立面化模型正、反面 
 
第一類中,第二個例子呈現的是:使用另一種四邊形鋪磚的成果(圖三十四、圖三十五及圖三十六)。

 

圖三十四、四邊形平面鑲嵌模式(二)     圖三十五、立面化模型紙元件

圖三十六、立面化模型:單層編織正、反面及雙層編織正、反面 
 
 
4.2 螺旋狀平面鑲嵌模式(Spiraling Tiling Patterns):我想再增加兩個例子,來呈現應用立面化於平面鑲嵌模式的多種有趣可能性,這兩個例子皆立基於螺旋狀的平面鑲嵌模式。第一個螺旋狀平面鑲嵌模式是由正三角形及正方形鋪磚所構成(圖三十七),第二個則是由一種阿基米德螺旋狀平面鑲嵌模式衍生而來。
 

圖三十七、立面化螺旋狀平面鑲嵌模式

 

圖三十八、立面化阿基米德螺旋狀平面鑲嵌模式





原作參考資料:

[1] Luca Pacioli – Leonardo da Vinci, La Divina Proportione, 1509, Ed. Akal, S.A., Madrid, 1991 

[2] Rinus Roelofs, Elevations and Stellations, Bridges Proceedings, Seoul, 2014. 

[3] Luca Pacioli, Divina Proportione: Die Lehre Vom Goldenen Schnitt, 1509, Ed. Carl Graeser, Wien, 1896. 

[4] B. Grunbaum – G.C. Shephard, Tilings and Patterns, W.H. Freeman and Company, New York, 1987.  
未完待續 to be continued 

Last update : 08-09-2015 05:37

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