遊走在維度之間- 我們可能只是一個4D物件的投影?

Written by helen, on 27-09-2014 01:36

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故事由『平面國』*的正方形爺爺開始⋯⋯當我的孫子走進房間時,我小心翼翼地關緊門。接著,我在他旁邊坐下,拿出我們的數學板(諸君應該會稱之為線),告訴他我們將繼續昨天的課程,我又教了他一次,如何在一維世界中,藉由移動一個點形成一條線;如何在二維世界中移動一條線以形成正方形。之後,我假裝笑出,說道:『現在,你這個小孩子曾經想要我相信,藉著將一片正方形『向上移動,不是向北移動』,可以創造出另一個形狀,某種三維世界的『超正方形』。哈,愛作怪的小孩子,你不妨再說一次看看。」⋯⋯

*以上故事引自【平面國-向上,而非向北】一書,第178頁。(譯者:賴以威  出版:魔酒出版)

在平面國的正方形爺爺努力讓人了解3D的正立方體,在三維空間中的我們,要如何闡述4D的立方體呢? 

維度到底是什麼?我們如何在紙上畫出正立方體?以圖一這個小學生都熟悉的正立方體透視圖為例 :

 圖一

似乎沒什麼特別的?然而,我們都知道,這並不是一個真的立方體,它只是一個代表正立方體的壓扁(2D)影像,以便在平面的紙面上呈現。這樣壓扁的正立方體有許多可能的樣貌,圖二就是一個以Zometool建構的壓扁正立方體。 

圖二

就像3D的正立方體可以壓扁(投影)成為2D的影像,4D的物體也可推論出它的3D投影。讓我們重新檢視維度的構成: 

零維(0D):點。以Zometool呈現,可視『連接球』(Zomeball)為空間中的一點。 

一維(1D):線。如果我們拉動零維的點產生一個直線距離,這個線段表示的就是一維的物體。以Zometool表示即為兩端各接一個連接球的桿件。

二維(2D):面。當我們拉動一維的線,產生一個垂直於此線段的路徑,這個路徑即構成二維的面。

 

 

三維(3D):體。 現在,改拉動二維的面,這個垂直於此面的路徑即構成三維的量體。

 

在我們進入四維前,請留意這個有趣的演進:

點用以定義線(兩點決定一線)

線用以定義面(四條一樣長的線決定一正方形的面)

面用以定義體(六個一樣大的正方形面決定一正立方體)

猜猜看幾個正立方體決定一個『超立方體』呢?(答案:8個)

 

生活在三維空間中的我們,很難想像拉動一個正立方體並構成一個垂直於此正立方體的路徑。但是,既然我們可以使用平面圖形畫出三維的正立方體,那麼我們也可以使用Zometool建構出壓扁於三維中的四維立方體(以『超立方體』稱之,英文:hypercube)。雖然,這個壓扁的超立方體有許多不同的形態,下圖是個最常見的投影。想了解更多可參考:Zome Geometry一書中『挑戰21.1 超立方體』單元。

 

 

出生於英國教育世家的愛德溫・A・艾勃特(Edwin Abbott Abbott, 1838- 1926)在1884年即以『平面國』(Flatland)一書,以先前提及的正方形爺爺為第一人稱,透過科幻小說的形式,闡述維度的概念。故事由平面國的自然法則開始,或許我們正上演的是3D立體國的故事?我們可能只是一個四維物件的投影?以下,邀請到美國Zometool總公司的願景規劃總裁Paul Hildebrandt(CVO, Zometool Inc.)使用他共同設計與製造的工具Zometool,由他的影子(應該稱呼為2D Paul先生?)向各位介紹一趟維度之旅,影片中將呈現另一種形態的超立方體模型。


 

如果維度很抽象,或許透過與空間互動而產生的美學感受本身比較具體。這個所謂四維的12面體在三維的投影模型(120 cell)是不是很美呢?

攥文者:余筱嵐
攥文日期:2014.09.27

Last update : 27-09-2014 05:30

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